ТРАПЕЦОЭДР

502
Треугольный трапецоэдр
Треугольный трапецоэдр (если его грани правильные четырёхугольники, то он является кубом)

Трапецоэдр (дельтоэдрантитегум) — двойственный антипризме многогранник.

Если у исходной антипризмы основания — n-угольники, то у соответствующего ей трапецоэдра есть 2n граней, имеющих форму дельтоида.

Называются трапецоэдры по количеству углов у основания антипризмы, двойственными к которой они являются.

Например, четырёхугольный трапецоэдр — это многогранник, двойственный четырёхугольной антипризме.

Название

Эти фигуры, иногда называемые дельтоэдрами, не следует путать с дельтаэдрами, грани которых представляют собой равносторонние треугольники.

В виде кристаллов существуют скрученный тригональный трапецоэдр (с шестью скрученными трапециевидными гранями) и скрученный тетрагональный трапецоэдр (с восемью скрученными трапециевидными гранями); в кристаллографии (описывающей кристаллические формы минералов) их просто называют тригональным трапецоэдром и тетрагональным трапецоэдром.

У них нет ни плоскости симметрии, ни центра симметрии. Треугольный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 3-го порядка, перпендикулярную трем осям симметрии 2-го порядка. Тетрагональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 4-го порядка, перпендикулярную четырем осям симметрии 2-го порядка.

Также в кристаллографии слово трапецоэдр часто используется для многогранника с 24 трапециевидными гранями, правильно известного как (дельтовидный) икоситетраэдр. Другой многогранник с 12 трапециевидными гранями известен как дельтовидный додекаэдр.

Симметрия в трапецоэдрах

Группа симметрии n-угольного трапецеоэдра равна Dnd порядка 4n, за исключением случая n = 3: куб имеет большую группу симметрии Od порядка 48 = 4×(4×3), которая имеет четыре версии D3d как подгруппы.

Четырёхугольный трапецоэдр
Четырёхугольный трапецоэдр

Группа вращения n-трапецеоэдра равна Dn порядка 2n, за исключением случая n = 3: куб имеет большую группу вращения O порядка 24 = 4×(2×3), которая имеет четыре версии D3 как подгруппы.

Одна степень свободы в пределах симметрии от Dnd (порядок 4n) до Dn (порядок 2n) превращает конгруэнтные воздушные змеи в конгруэнтные четырехугольники с тремя длинами ребер, называемые скрученными змеями, а n-трапецеэдр называется скрученным трапецоэдром. (В пределе одно ребро каждого четырехугольника становится нулевой длины, и n-трапецеэдр становится n-бипирамидой.)

Если воздушные змеи, окружающие две вершины, не скручены, а имеют две разные формы, n-трапецеэдр может иметь только Cnv (циклическую с вертикальными зеркалами) симметрию порядка 2n и называется неравным или асимметричным трапецоэдром. Двойственная ей неравная n-антипризма с верхним и нижним многоугольниками разного радиуса.

Если воздушные змеи скручены и имеют две разные формы, n-трапецеэдр может иметь только Cn (циклическую) симметрию, порядок n и называется неравным скрученным трапецоэдром.

Пример вариаций с шестиугольными трапецоэдрами (n = 6)
Пример вариаций с шестиугольными трапецоэдрами (n = 6)

Примеры

  • Кристаллическое расположение атомов может повторяться в пространстве с тригональными и гексагональными трапециевидными ячейками.
  • Пятиугольный трапецоэдр — единственный многогранник, отличный от Платоновых тел, обычно используемый в качестве игральной кости в ролевых играх, таких как Dungeons & Dragons. Имея 10 сторон, его можно использовать в повторении для генерации любой желаемой равномерной вероятности на основе десятичной дроби. Две игральные кости разных цветов обычно используются для двух цифр, представляющих числа от 00 до 99.
Смотрите также:
Подписаться
Уведомление о
0 Комментарий
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии