Математики СПбГУ доказали существование скрытых точек притяжения в электрической цепи

Ученые Санкт-Петербургского государственного университета и Института радиотехники и электроники имени В. А. Котельникова совместно с профессором Калифорнийского университета в Беркли Леоном Чуа экспериментально показали существование скрытых аттракторов — точек притяжения в простейшей электрической цепи. 

Аттрактор в динамической модели — состояние динамики модели, к которому она стремится прийти. Один из примеров тривиальных аттракторов — детская игрушка ванька-встанька: аттрактором здесь будет вертикальное положение, так называемое состояние покоя. Другой пример — подвесной маятник, для которого аттрактором будет положение нити, перпендикулярное земле в состоянии покоя.

Однако в науке существуют хаотические аттракторы, движение к которым предсказать труднее. Одна из ключевых задач динамики как научного направления — выявление возможных предельных динамических режимов колебания (нетривиальных аттракторов) и начальных состояний системы, из которых происходит притяжение.

В свою очередь нетривиальные аттракторы бывают скрытыми или самовозбуждающимися — их легко обнаружить и изучить в физических и численных экспериментах. Например, процесс дыхания новорожденного — это результат самовозбуждения легких: из состояния покоя динамика органов дыхания приходит к устойчивому циклическому режиму работы, запуская дыхание (самовозбуждающийся периодический аттрактор).

Дыхание для человека — это циклический процесс, однако, если он прекращается, необходимо обеспечить его искусственно — для этого важно выбрать правильную силу воздействия на органы дыхания для возвращения динамики в область притяжения устойчивого циклического режима работы сердца и легких. В данном случае исходное состояние равновесия и непрерывного дыхания — устойчивый и желаемый циклический режим работы, это и есть скрытый периодический аттрактор.

Для объяснения и демонстрации данных состояний в качестве модельного образца, иллюстрирующего работу данных принципов в электродинамике, ученые используют электрическую цепь Чуа — простейшую электрическую цепь, которая показывает режимы предельных хаотических колебаний. Она была предложена математиком Леоном Чуа в 1983 году для анализа и генерации хаотических режимов. С тех пор в цепи Чуа было выявлено множество различных по форме хаотических колебаний, однако все они были самовозбуждающимися и наблюдались при включении питания из состояния покоя. Это позволило профессору выдвинуть гипотезу, что в данном случае при устойчивом состоянии равновесия хаотических режимов быть не может.

Однако существование скрытых аттракторов удалось математически объяснить заведующему кафедрой прикладной кибернетики СПбГУ Николаю Кузнецову: еще в 2009 году он теоретически доказал наличие в цепи Чуа скрытых аттракторов.

«Дальнейшее создание и развитие теории скрытых колебаний, которая открыла ряд принципиально новых возможностей определения границ устойчивости и выявления нежелательных колебаний для предотвращения технологических и техногенных катастроф, позволили нам математически открыть различные конфигурации и сценарии рождения состояний со скрытыми аттракторами в цепи Чуа», — пояснил заведующий кафедрой прикладной кибернетики СПбГУ Николай Кузнецов.

Экспериментальное существование скрытых аттракторов в цепи Чуа было доказано в саратовском филиале Института радиотехники и электроники имени В. А. Котельникова Российской академии наук. Для этого в ИРЭ РАН совместно с СПбГУ и самим Леоном Чуа была создана специальная экспериментальная установка, на которой удалось подтвердить математические исследования. Особенностью установки стало то, что в нее была встроена дополнительная часть, позволяющая моделировать воздействие внешних возмущений, то есть запускать ее не из естественных начальных данных.

На установке ученые запускали модифицированную цепь и наблюдали, что электрический сигнал показывал притяжение к аттрактору, который можно считать скрытым, поскольку из начального, немодифицированного состояния сигнал к нему не притягивается.

Как отмечает Николай Кузнецов, открытие имеет значение не только для фундаментальной науки, но может быть использовано на практике. Например, хаотические сигналы, генерируемые в цепи Чуа, могут использоваться в качестве генератора случайных чисел в системах шифрования для скрытой передачи информации и во многих других приложениях. В том числе на основе цепей Чуа делают различные мемристорные системы. Мемристоры, будучи электрическим элементом, могут лечь в основу создания компьютеров нового поколения, в которых хранение и обработка информации осуществляется одним и тем же физическим устройством.

Результаты исследования опубликованы в научном журнале Nonlinear Dynamics.