Введение в бином Ньютона

Бином Ньютона — это математическая формула, которая помогает в раскрытии выражений в степени (a + b)^n, где «a» и «b» являются числами, а «n» — это целое положительное число (включая ноль). Эта формула называется в честь великого математика Исаака Ньютона.

Как это работает?

В основе бинома Ньютона лежит простая идея раскрытия скобок. Представьте, что у вас есть выражение вида (a + b)^n, и вы хотите узнать, как его разложить на части.

Бином Ньютона предоставляет нам способ сделать это без необходимости раскрывать скобки пошагово.

Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

(�+�)�=∑�=0�(��)��−���(a+b)n=∑k=0n​(kn​)an−kbk

Где:

• $n$ — это степень выражения,
• $k$ — это число, которое меняется от $0$ до $n$,
• (��)(kn​) — это символ «n над k» и называется биномиальным коэффициентом.

Разбор Формулы

Давайте разберемся, что происходит в формуле:

• (��)(kn​) — биномиальный коэффициент — это число способов выбрать подмножество из $k$ элементов из общего множества из $n$ элементов. Это вычисляется как �!�!(�−�)!k!(n−k)!n!​, где $n!$ обозначает факториал числа $n$ (произведение всех целых чисел от 1 до $n$).
• ��−�an−k и ��bk — это степени переменных $a$ и $b$. Они уменьшаются и увеличиваются соответственно при прохождении через каждый член суммы.

Пример

Давайте взглянем на пример:

Пусть у нас есть выражение (�+�)3(x+y)3. Применяя формулу бинома Ньютона, мы получаем:

(�+�)3=(30)�3�0+(31)�2�1+(32)�1�2+(33)�0�3(x+y)3=(03​)x3y0+(13​)x2y1+(23​)x1y2+(33​)x0y3

Распишем каждый член:

=1�3+3�2�+3��2+1�3=1x3+3x2y+3xy2+1y3

=�3+3�2�+3��2+�3=x3+3x2y+3xy2+y3

Вывод

Бином Ньютона — это мощный инструмент в алгебре, который позволяет нам раскрывать выражения в степени без необходимости раскрывать скобки пошагово. Понимание этой формулы поможет вам в работе с различными математическими проблемами и задачами.

Кто создал формулу?

Исаак Ньютон не изобрел формулу, которая сегодня известна как «бином Ньютона», но его имя связано с развитием математической теории, на которой эта формула основана.

В своей работе «Математические начала натуральной философии», опубликованной в 1687 году, Ньютон исследовал различные аспекты алгебры, включая разложение выражений в степенях. Он ввел понятие биномиальных коэффициентов и разработал методы для их вычисления.

Идея разложения выражений в степенях была известна задолго до Ньютона, но его вклад состоял в том, что он предложил систематический и математически строгий подход к этому вопросу.

Сама формула бинома Ньютона как таковая была выведена и представлена в математической литературе после его времени. Впоследствии ее назвали в честь Ньютона в знак признания его работы в этой области математики.

Таким образом, Ньютон не изобрел формулу бинома Ньютона в том смысле, что он первым придумал этот метод, но его работа и вклад в развитие математики значительно способствовали развитию этой и многих других математических концепций.