Отожженная и закаленная энтропия — что это?
Отожженная (annealed) и закаленная (quenched) энтропия — это термины, используемые в статистической физике, теории вероятностей и теории случайных сред. Они описывают два разных способа усреднения по беспорядку (randomness). Разница между ними принципиальная.
Что такое закаленная (quenched) энтропия?
Закалённая энтропия относится к ситуации, когда беспорядок фиксирован, «заморожен».
Система развивается на фоне заранее заданной случайной среды, которая не меняется во времени.
Пример
Представьте, что мы изучаем блуждание частицы в случайной среде — например, в кристалле с дефектами.
Дефекты однажды возникли — и не двигаются.
Тогда:
- сначала фиксируем конкретную реализацию среды (одну случайную конфигурацию);
- вычисляем энтропию (или другое свойство) системы при этой среде;
- затем усредняем по всем возможным реализациям.
Формально:
\[ S_{\text{quenched}} = \mathbb{E}[; \ln Z(\omega) ;], \]где \[(Z(\omega))\] — функция распределения (partion function) при фиксированной случайной среде \[( \omega )\]
Ключевой момент: логарифм берётся до усреднения.
Это строго, но математически сложнее.
Что такое отожженная (annealed) энтропия?
Отожженная энтропия — противоположный случай: беспорядок тоже является динамическим или считается таким. То есть считается, что случайная среда «тепловая» и может изменяться, ее флуктуации усреднены вместе с системой.
Пример — атомы в веществе при высокой температуре, когда структура перестраивается.
Тогда:
- среда не фиксирована, а усредняется вместе с динамикой системы;
- математически проще.
Формула:
\[S_{\text{annealed}} = \ln \mathbb{E}[; Z(\omega) ;].\]Ключевой момент: логарифм берется после усреднения.
Главная разница (в одном предложении)
- Quenched: среда заморожена → усредняем логарифм.
- Annealed: среда подвижна → логарифм после усреднения.
Так как \[(\ln)\] — вогнутая функция (метод Йенсена):
\[ \mathbb{E}[\ln Z] \le \ln(\mathbb{E}[Z]),\]
то обычно: \[S_{\text{quenched}} \le S_{\text{annealed}}.\]
Где это применяется?
- Статистическая физика беспорядка: спиновые стекла (модель Шеррингтона–Киркпатрика).
- Теория информации: анализ случайных кодов.
- Теория вероятностей: блуждания в случайных средах.
- Machine learning: оценка сложности модели, PAC-байесовские оценки.
- Комбинаторика: энтропии случайных графов.
Если очень просто:
- Quenched (закаленная): среда зафиксирована, и система должна с ней жить.
- Annealed (отожженная): среда тоже «флуктуирует» и усредняется вместе с системой.