Удивительный скрытый порядок объединяет простые числа и кристаллы

Новый анализ проведенный исследователями Принстонского университета выявил закономерности в простых числах, аналогичные тем, которые были обнаружены в положениях атомов внутри некоторых кристаллоподобных материалов.

Исследователи обнаружили удивительное сходство между последовательностью простых чисел на длинных участках числовой линии и рисунком, который возникает из-за сияющих рентгеновских лучей на материале, чтобы выявить внутреннее расположение его атомов. Анализ может привести к прогнозированию простых чисел с высокой точностью, считают исследователи. Исследование было опубликовано 5 сентября в журнале «Статистическая механика: теория и эксперимент» (Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment).

«Существует гораздо больше порядка в простых числах, чем считалось когда-либо ранее», — говорит Сальваторе Торквато, профессор химии и естественных наук. «Мы показали, что простые числа ведут себя почти как кристалл или, точнее, как похожий на кристалл кристаллоподобный материал, называемый «квазикристаллом».

Простые числа — это числа, которые могут быть разделены только на 1 и самих себя. Очень большие простые числа являются строительными блоками многих криптографических систем. Простые числа, по-видимому, разбросаны случайным образом вдоль числовой линии, хотя математики различили некоторый порядок. Первые несколько простых чисел — 2, 3, 5, 7 и 11, становятся более спорадическими в числовой строке.

Торкато и его коллеги обнаружили, что при рассмотрении больших рядов чисел простые числа более упорядочены, чем считалось ранее, в класс шаблонов, известных как «гипероднообразность». (hyperuniformity).

Гиперуниформные материалы образуют специальный порядок на больших расстояниях и включают кристаллы, квазикристаллы и специальные неупорядоченные системы. Гипероднообразность встречается при расположении конусных ячеек в птичьих глазах, в некоторых редких метеоритах и ​​в крупномасштабной структуре Вселенной.

Команда показала, что порядок, который они обнаружили в простых числах, сопоставляется с образцом, который возникает, когда рентгеновские лучи взаимодействуют с определенными формами материи. Как химик, Торквато знаком с рентгеновской кристаллографией, прохождением рентгеновских лучей через трехмерную атомную решетку кристалла. С алмазами или другими кристаллами это приведет к предсказуемой картине ярких пятен или пиков, известных как пики Брэгга.

По сравнению с типичными кристаллами квазикристаллы дают отчетливое и более сложное расположение брэгговских пиков. Пики в типичном кристалле образуются через равные промежутки времени с пустым промежутком между ними. В квазикристаллах между любыми двумя выбранными пиками Брэгга находится другой пик Брэгга.

Схема, которую Торквато и его коллеги обнаружили в простых числах, аналогична картине квазикристаллов и другой системы, называемой предельно-периодическим порядком, но она несколько отличается, и исследователи называют ее «эффективно предельно-периодическим» порядком. Простые числа появляются в «самоподобных» группировках, что означает, что между вершинами определенных высот есть группы меньших пиков и т. д.

Команда исследователей обнаружила сильные признаки такой картины, используя компьютерное моделирование, чтобы увидеть, что произойдет, если простые числа будут обработаны, как атомы, подвергнутых рентгеновскому облучению. В работе, опубликованной в журнале Physics A в феврале, исследователи сообщили об обнаружении удивительной картины брэгговских пиков, указывая на то, что простые образцы были очень упорядочены.

Текущее исследование использует теорию чисел, чтобы обеспечить теоретическую основу для предыдущих численных экспериментов. Исследователи поняли, что, хотя простые числа кажутся случайными через короткие промежутки времени, на достаточно длинных участках числовой линии вдруг появляется порядок из кажущихся хаотическими чисел. «Когда вы переходите этот предел — появляется упорядоченная структура».

Открытие может помочь в области математики и материаловедения. «Простые числа имеют красивые структурные свойства, включая неожиданный порядок, гиперуниформность и эффективное предельно-периодическое поведение», — сказал Торквато. «Простые числа учат нас совершенно новому состоянию материи.»

S Torquato et al. Uncovering multiscale order in the prime numbers via scattering, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (2018). DOI: 10.1088/1742-5468/aad6be