Исследователи находят лучший степенной закон

Гигантские землетрясения и чрезвычайное богатство, возможно, не имеют много общего, но частоту, с которой землетрясение произойдет в определенном месте, и то, как часто кто-то будет зарабатывать столько же денег, сколько Билл Гейтс, можно предсказать с помощью статистического измерения, называемого показатель степенного закона.

В течение прошлого столетия исследователи использовали так называемый степенной закон, чтобы предсказать определенные виды событий, в том числе частоту землетрясений в определенных точках земного шара по шкале Рихтера. Но исследователь Мичиганского университета заметил, что этот степенной закон  подходит не для всех обстоятельств.

Митчелл Ньюберри, сотрудник Мичиганского университета и доцент в Центре изучения сложных систем UM, предлагает внести поправку в степенной закон, который учитывает события, которые увеличиваются или уменьшаются в фиксированных пропорциях.

Эти корректировки влияют на то, как оценить вероятности землетрясений, количество капилляров в теле человека, а также размеры мегаполисов и солнечных вспышек. И они могут пересмотреть, когда ожидать следующего сильного землетрясения.

Когда ученые изображают на графике что-то вроде вероятности чрезмерного богатства, кривая представляет собой плавную линию. Это потому, что люди могут иметь любую сумму денег на своих банковских счетах.

«Плавность этой кривой означает, что возможно любое значение», — сказал Митчелл Ньюберри. «Я мог бы сделать на один пенни больше так же легко, как на один пенни меньше».

Это не совсем так с такими событиями, как землетрясения, из-за того, как они записываются по шкале Рихтера. Магнитуда землетрясений по Рихтеру увеличивается или уменьшается с приращением 0,1 в геометрической прогрессии. Землетрясение магнитудой 3,1 в 1,26 раза сильнее землетрясений магнитудой 3,0, поэтому не все значения возможны в масштабе. Шкала Рихтера является примером концепции, называемой «самоподобие», или когда событие или объект сделаны из пропорционально меньших копий самих себя.

Вы можете видеть самоподобие в природе как ветвление жилок в листе или в геометрии как треугольники внутри больших треугольников той же формы, называемых треугольником Серпинского. Итак, чтобы учесть события, которые меняются в точных пропорциях, Ньюберри и его соавтор Ван Сэвидж из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе создали закон дискретной власти.

В степенных уравнениях показатель степени является переменной. При землетрясениях этот показатель, называемый величиной b Гутенберга-Рихтера, впервые был измерен в 1944 году и показывает, как часто может происходить землетрясение определенной силы. Дискретный степенной закон Ньюберри произвел коррекцию на 11,7% по сравнению с оценками, основанными на непрерывном степенном законе, приблизив показатель степени к исторической частоте сильных землетрясений. Даже 5-процентная коррекция приводит к более чем двукратной разнице в ожидании следующего гигантского землетрясения.

«В течение 100 лет люди говорили примерно об одном виде распределения степенных законов. Это распределение степенных законов богатства и землетрясений», — сказал Ньюберри. «Только сейчас мы документируем эти дискретные шкалы. Вместо плавной кривой наш степенной закон выглядит как бесконечная лестница».

Митчелл Ньюберри заметил недостаток непрерывного степенного закона в своем исследовании физики системы кровообращения. Кровеносная система начинается с одного большого кровеносного сосуда: аорты. По мере расщепления аорты на разные ветви — сонные и подключичные артерии — каждая новая ветвь уменьшается в диаметре примерно на две трети.

Он использовал непрерывный степенной закон, чтобы оценить размеры кровеносных сосудов, поскольку они продолжают разветвляться. Но степенной закон дал размеры кровеносных сосудов, которые не могли возникнуть. Это указывало на то, что кровеносный сосуд может быть лишь немного меньше сосуда, от которого он разветвляется, вместо примерно двух третей размера этого сосуда.

«Используя непрерывный степенной закон, мы просто получали ответы, которые, как мы знали, были неправильными», — сказал Ньюберри.

«Существует некоторая золотая середина между непрерывным степенным законом и дискретным степенным законом», — говорит Митчелл Ньюберри. «В дискретном степенном законе все установлено в совершенно жестких пропорциях от самого высокого масштаба до бесконечно малого. В непрерывном степенном законе все выстроено совершенно случайно. Почти все самоподобное в реальности представляет собой смесь этих двух факторов».

Mitchell G. Newberry et al. Self-Similar Processes Follow a Power Law in Discrete Logarithmic Space, Physical Review Letters (2019). DOI: 10.1103/PhysRevLett.122.158303