Введение в бином Ньютона

Бином Ньютона — это математическая формула, которая помогает в раскрытии выражений в степени (a + b)^n, где «a» и «b» являются числами, а «n» — это целое положительное число (включая ноль). Эта формула называется в честь великого математика Исаака Ньютона.

Как Это Работает?

В основе бинома Ньютона лежит простая идея раскрытия скобок. Представьте, что у вас есть выражение вида (a + b)^n, и вы хотите узнать, как его разложить на части. Бином Ньютона предоставляет нам способ сделать это без необходимости раскрывать скобки пошагово.

Формула Бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Где:

• $n$ — это степень выражения,
• $k$ — это число, которое меняется от $0$ до $n$,
• $\binom{n}{k}$ — это символ «n над k» и называется биномиальным коэффициентом.

Разбор Формулы

Давайте разберемся, что происходит в формуле:

• $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент — это число способов выбрать подмножество из $k$ элементов из общего множества из $n$ элементов. Это вычисляется как $\frac{n!}{k! (n-k)!}$, где $n!$ обозначает факториал числа $n$ (произведение всех целых чисел от 1 до $n$).
• $a^{n-k}$ и $b^k$ — это степени переменных $a$ и $b$. Они уменьшаются и увеличиваются соответственно при прохождении через каждый член суммы.

Пример

Давайте взглянем на пример:

Пусть у нас есть выражение $(x + y)^3$. Применяя формулу бинома Ньютона, мы получаем:

$(x + y)^3 = \binom{3}{0}x^3y^0 + \binom{3}{1}x^2y^1 + \binom{3}{2}x^1y^2 + \binom{3}{3}x^0y^3$

Распишем каждый член:

$= 1x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 1y^3$

$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Вывод

Бином Ньютона — это мощный инструмент в алгебре, который позволяет нам раскрывать выражения в степени без необходимости раскрывать скобки пошагово. Понимание этой формулы поможет вам в работе с различными математическими проблемами и задачами.

Кто создал формулу?

Исаак Ньютон не изобрел формулу, которая сегодня известна как «бином Ньютона», но его имя связано с развитием математической теории, на которой эта формула основана.

В своей работе «Математические начала натуральной философии», опубликованной в 1687 году, Ньютон исследовал различные аспекты алгебры, включая разложение выражений в степенях. Он ввел понятие биномиальных коэффициентов и разработал методы для их вычисления.

Идея разложения выражений в степенях была известна задолго до Ньютона, но его вклад состоял в том, что он предложил систематический и математически строгий подход к этому вопросу.

Сама формула бинома Ньютона как таковая была выведена и представлена в математической литературе после его времени. Впоследствии ее назвали в честь Ньютона в знак признания его работы в этой области математики.

Таким образом, Ньютон не изобрел формулу бинома Ньютона в том смысле, что он первым придумал этот метод, но его работа и вклад в развитие математики значительно способствовали развитию этой и многих других математических концепций.