Математики решают старейшую задачу алгебры

Решение полиномиальных уравнений — одна из старейших задач алгебры, восходящая к древним вавилонянам, которые разработали метод решения квадрата для уравнений второй степени. В XVI веке математики нашли аналогичные методы для уравнений третьей и четвертой степеней, используя радикалы (корни). Однако в 1832 году Эварист Галуа доказал, что для уравнений пятой степени и выше не существует общего алгебраического решения в радикалах. С тех пор математики полагались на численные методы и приближенные вычисления, но строгий алгебраический подход оставался недостижимым.

Ключевая идея нового метода

Профессор Норман Уайлдбергер из Университета Нового Южного Уэльса совместно с доктором Дином Рубином предложил принципиально новый подход, основанный на комбинаторных последовательностях и степенных рядах, а не на радикалах. Этот метод позволяет находить точные алгебраические решения для уравнений любой степени, включая «квинтики» (пятой степени) и выше.

Критика классического подхода

Норман Уайлдбергер отвергает традиционное использование иррациональных чисел и радикалов, считая их логически проблематичными. Например, кубический корень из 7 (∛7 = 1.9129118…) — бесконечная непериодическая десятичная дробь, которую нельзя точно вычислить. По его мнению, классическая алгебра опирается на «некорректное» понятие бесконечности, что приводит к неоднозначностям. Вместо этого он предлагает рациональные методы, избегающие иррациональных чисел.

Полиномы — это уравнения, включающие переменную, возведенную в степень, например, полином второй степени: 1 + 4x – 3x ² = 0.

Роль комбинаторики и чисел Каталана

Основу нового метода составляют обобщенные комбинаторные последовательности, расширяющие известные числа Каталана (которые описывают разбиения многоугольников на треугольники). Уайлдбергер и Рубин ввели новый числовой массив — Geode, многомерный аналог чисел Каталана, связанный с разбиением многоугольников непересекающимися линиями. Эти последовательности позволяют строить степенные ряды, дающие точные решения полиномиальных уравнений.

Практическая значимость

Метод не только теоретически важен, но и имеет прикладные перспективы:

• Алгоритмы вычислений: можно разрабатывать более эффективные компьютерные программы для решения уравнений.
• Прикладная математика: улучшение моделей в физике, инженерии, биологии (например, анализ молекул РНК).
• Чистая алгебра: переосмысление основ решения уравнений без reliance на радикалы.

Норман Уайлдбергер протестировал подход на историческом кубическом уравнении Уоллиса, используемом для демонстрации метода Ньютона. Решение сошлось с высокой точностью, подтвердив работоспособность метода.

Будущие направления

• Изучение массива Geode может привести к новым открытиям в комбинаторике.
• Разработка алгоритмов на основе степенных рядов для прикладных задач.
• Пересмотр других разделов математики, где используются иррациональные числа.

Работа Уайлдбергера и Рубина открывает новую главу в алгебре, предлагая алгебраически строгий метод решения уравнений высших степеней. Это не только бросает вызов традиционным представлениям, но и создает основу для дальнейших исследований в математике и ее приложениях. Как отмечает сам профессор, это «начало новой эры» в решении полиномиальных уравнений.