Что такое цикл в графе?

Цикл в графе — это последовательность рёбер и вершин, где первая вершина совпадает с последней, а все остальные вершины и рёбра различны. Граф называется цикличным, если в нём существует хотя бы один цикл.

Пример:

• Вершины: A, B, C
• Рёбра: (A,B), (B,C), (C,A) 

В этом случае цикл — это путь A→B→C→A, потому что мы возвращаемся в исходную вершину A.

Есть два типа графов:

1. Ориентированный граф (направленный граф): рёбра имеют направление. Цикл в ориентированном графе — это путь, где все рёбра идут в одном направлении.
2. Неориентированный граф (ненаправленный граф): рёбра не имеют направления. Цикл в неориентированном графе — это путь, который возвращается в исходную вершину, но направление рёбер не имеет значения.

Цикл в графе важен для многих задач, таких как поиск маршрутов, определение связности графа, а также для нахождения проблемных областей в сетях.

Вот пример для неориентированного графа:

Предположим, есть 4 вершины: A, B, C, D и рёбра между ними:

• (A, B)
• (B, C)
• (C, A)

Тогда путь A→B→C→A образует цикл. Этот путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине (A), а все рёбра и вершины (кроме начальной и конечной) уникальны.

Визуально это можно представить так:

A -- B
|    |
C -- D

Здесь видно, что можно пройти по рёбрам A→B→C→A, образуя цикл.

Для ориентированного графа представим 3 вершины: X, Y, Z и рёбра между ними с направлением:

• X→Y
• Y→Z
• Z→X

Здесь тоже образуется цикл X→Y→Z→X, так как мы снова возвращаемся в вершину X.

Визуально:

X → Y
↑   ↓
Z ←

Этот цикл в ориентированном графе имеет чётко определённое направление, и мы движемся по рёбрам строго в указанном порядке.