Квантовое моделирование гиперболического пространства

Благодаря Эйнштейну мы знаем, что наше трехмерное пространство искривлено. А в искривленном пространстве обычные представления о геометрии и прямых линиях рушатся, давая возможность исследовать незнакомый ландшафт, управляемый новыми правилами. Но изучить, как физика проявляется в искривленном пространстве, очень сложно.

«Из общей теории относительности мы знаем, что сама Вселенная искривлена ​​в разных местах», — говорит научный сотрудник JQI Алисия Коллар, которая также является профессором физики в Университете Мэриленда (UMD).

Пространства, геометрические правила которых отличаются от тех, которые мы обычно принимаем как должное, называются неевклидовыми. Если бы мы могли исследовать неевклидову среду, мы бы обнаружили там загадочные пейзажи.

Пространство может сжиматься так, что прямые параллельные линии сходятся вместе, вместо того, чтобы строго поддерживать фиксированный интервал. Или оно может расшириться так, что они навсегда разойдутся друг от друга. В таком мире четыре дороги одинаковой длины, которые все соединены правым поворотом под прямым углом, могут не образовать квадратный блок, который вернет вас на исходный перекресток.

Эти среды опровергают основные предположения о нормальной навигации, и их невозможно точно визуализировать. Неевклидовы геометрии крайне чужды и образовывают неестественные ландшафты.

Но эти незнакомые геометрические формы — гораздо больше, чем просто далекие, потусторонние абстракции. Ученых интересует новая физика, которую может раскрыть искривленное пространство, а неевклидовы геометрии могут даже помочь улучшить конструкцию некоторых технологий.

Один из видов неевклидовой геометрии, представляющий интерес, — это гиперболическое пространство, также называемое пространством с отрицательной кривизной. Даже двумерную физическую версию гиперболического пространства невозможно создать в нашей нормальной, «плоской» среде. Но ученые все еще могут имитировать гиперболическую среду, чтобы исследовать, как определенная физика проявляется в отрицательно искривленном пространстве.

В недавней статье в Physical Review A представлены новые математические инструменты для лучшего понимания моделирования гиперболических пространств. Исследование основано на предыдущих экспериментах по моделированию упорядоченных решеток в гиперболическом пространстве с помощью микроволнового света, содержащегося на микросхемах.

Новый набор инструментов включает то, что ученые называют «словарем между дискретной и непрерывной геометрией», чтобы помочь исследователям переводить экспериментальные результаты в более удобную форму. С помощью этих инструментов ученые могут лучше исследовать перевернутый с ног на голову мир гиперболического пространства.

Изогнутый новый мир

В плоском пространстве кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая линия, а параллельные линии никогда не пересекаются — независимо от их длины.

В искривленном пространстве эти основы геометрии больше не действуют. Математические определения плоского и изогнутого аналогичны повседневному значению в применении к двум измерениям. Вы можете почувствовать основы искривленных пространств, представив листы бумаги или карты.

Например, поверхность земного шара (или любого шара) является примером двумерного положительно искривленного пространства. А если вы попытаетесь превратить плоскую карту в глобус, то лишняя бумага сморщится, когда вы изогнете ее в сферу.

Чтобы получить гладкую сферу, вы должны «потерять» лишнее пространство, в результате чего параллельные линии в конечном итоге встретятся, например, линии долготы, которые начинаются параллельно на экваторе и встречаются на двух полюсах. Из-за этой потери вы можете думать о положительно изогнутом пространстве как о менее просторном пространстве, чем плоское.

Гиперболическое пространство противоположно положительно искривленному пространству — более просторному пространству. Гиперболическое пространство изгибается от самого себя в каждой точке. К сожалению, не существует гиперболического эквивалента шара, в который можно было бы вдавить двумерный лист; он буквально не впишется в то пространство, в котором мы живем.

Лучшее, что вы можете сделать, это сделать форму седла (или форму Прингла, по аналогии с чипсами), в которой окружающий лист гиперболически изгибается от центральной точки. Сделать каждую точку на листе такой же гиперболической невозможно; нет способа продолжать изгибать и добавлять бумагу, чтобы создать вторую идеальную седловую точку, не сбивая и не искажая первую гиперболическую седловую точку.

Дополнительное пространство гиперболической геометрии делает ее особенно интересной, поскольку означает, что появляется больше места для образования соединений.

Различия в возможных путях между точками влияют на то, как частицы взаимодействуют и какую однородную сетку можно создать. Использование дополнительных соединений, которые возможны в гиперболическом пространстве, может затруднить полное отрезание участков сети друг от друга, что может повлиять на дизайн сетей.

Поскольку физически создать гиперболическое пространство на Земле невозможно, исследователи вынуждены довольствоваться лабораторными экспериментами, воспроизводящими некоторые особенности искривленного пространства. Ученые ранее показали, что они могут моделировать однородное двумерное искривленное пространство. Моделирование выполняется с использованием схем, которые служат очень организованным лабиринтом для прохождения микроволн.

Особенностью схем является то, что микроволны безразличны к форме содержащих их резонаторов и зависят только от их общей длины. Также не имеет значения, под каким углом соединяются разные пути. Эти факты означают, что физическое пространство контура можно эффективно растягивать или сжимать, чтобы создать неевклидово пространство — по крайней мере, в том, что касается микроволн.

В своей предыдущей работе ученые смогли создать лабиринты с различными формами зигзагообразных путей и продемонстрировать, что схемы моделируют гиперболическое пространство. Несмотря на удобство и упорядоченность используемых схем, физика, проявляющаяся в них, по-прежнему представляет собой странный новый мир, требующий новых математических инструментов для эффективной навигации.

Гиперболические пространства ставят перед физиками другие математические задачи, чем евклидовы пространства, в которых они обычно работают. Например, исследователи не могут использовать стандартный физический трюк, представляющий решетку, становящуюся все меньше и меньше, чтобы выяснить, что происходит с бесконечно маленькой сеткой, которая должна действовать как гладкое непрерывное пространство.

Это связано с тем, что в гиперболическом пространстве форма решетки изменяется вместе с ее размером из-за искривления пространства. Новая статья устанавливает математические инструменты, такие как словарь между дискретной и непрерывной геометрией, чтобы обойти эти проблемы и разобраться в результатах моделирования.

С помощью новых инструментов исследователи могут получать точные математические описания и прогнозы, а не просто делать качественные наблюдения. Словарь позволяет им изучать непрерывные гиперболические пространства, даже если моделирование представляет собой только сетку. С помощью словаря исследователи могут взять описание микроволн, перемещающихся между отдельными точками сетки, и преобразовать их в уравнение, описывающее плавную диффузию, или преобразовать математические суммы по всем узлам сетки в интегралы, что более удобно в определенных ситуациях.

Благодаря новым инструментам, помогающим понять результаты моделирования, исследователи могут лучше отвечать на вопросы и делать открытия с помощью моделирования. Ученые говорят, что они оптимистично настроены по поводу того, что моделирование будет полезно для исследования соответствия AdS / CFT, физической гипотезы для объединения теорий квантовой гравитации и квантовых теорий поля с использованием неевклидова описания Вселенной.

«Quantum simulation of hyperbolic space with circuit quantum electrodynamics: From graphs to geometry,» Igor Boettcher, Przemyslaw Bienias, Ron Belyansky, Alicia J. Kollar, Alexey V. Gorshkov, Phys. Rev. A, 102, 032208 (2020). dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.102.032208