Математики решают гипотезу Какея

Математики из Нью-Йоркского университета и Университета Британской Колумбии решили давнюю геометрическую задачу — гипотезу Какея в трехмерном пространстве.

Эта гипотеза, вдохновленная задачей японского математика Соити Какея 1917 года, исследует форму, оставляемую иглой, движущейся в нескольких направлениях. Результаты исследования опубликованы на сервере препринтов arXiv.

Гипотеза Какея касается областей наименьшей возможной площади, в которых можно повернуть иглу на 180 градусов в плоскости. Такие области называются множествами игл Какея. Хонг Ван из Института математических наук Нью-Йоркского университета и Джошуа Заль из Университета Британской Колумбии показали, что множества Какея, связанные с множествами игл Какея, не могут быть «слишком маленькими». Хотя эти множества могут иметь нулевой трехмерный объем, они должны быть трехмерными.

Теренс Тао, лауреат Филдсовской премии 2006 года, назвал это исследование «одним из величайших математических достижений XXI века». Эяль Любецки, заведующий кафедрой математики Института Куранта, и Гвидо Де Филиппис, профессор того же института, также высоко оценили работу, отметив, что она расширяет понимание сложной геометрии и открывает новые горизонты для будущих исследований.

Пабло Шмеркин, профессор математики в Университете Британской Колумбии, подчеркнул, что гипотеза Какея связана с многими важными проблемами в гармоническом анализе и геометрической теории меры. Решение, предложенное Ваном и Залем, сочетает новые идеи с техническим мастерством, включая обобщение утверждений о пересечениях трубок, что упрощает подход, известный как индукция по шкалам.

Доказательство гипотезы Какея требует глубокого понимания структуры взаимодействия трубок в трехмерном пространстве.

Этот результат не только является прорывом в геометрической теории меры, но и имеет значительные последствия для гармонического анализа, теории чисел, компьютерной науки и криптографии. Понимание пересечения трубок, на которых концентрируются волновые пакеты, играет ключевую роль в изучении взаимодействия этих пакетов информации.